设函数f(x)在区间[0,2a]上连续,且f(0)=f(2a-查字典问答网

来自黎琼炜的问题

　　设函数f(x)在区间[0,2a]上连续,且f(0)=f(2a),证明：在[0,a]上至少存在一点ξ,使f(ξ)=f(ξ+a).解题的思路和入点是什么

　　设函数f(x)在区间[0,2a]上连续,且f(0)=f(2a),证明：在[0,a]上至少存在一点ξ,使f(ξ)=f(ξ+a).

　　解题的思路和入点是什么

1回答

2020-03-1310:41

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邓智群

　　设函数F(x)=f(a+x)-f(x)则F(x)在[0,2a]上连续

　　F(a)=f（a+a）-f（a）=f(2a)-f(a)又因为f(0)=f(2a)所以F(a)=f(0)-f(a)

　　F(0)=f(a)-f(0)=-F(a)

　　由连续区间函数介值定理,必然存在一点ξ,使得F(X)的值为0

　　若使得F（x）=0,意味着f(a+x)-f(x)=0所以f(a+x)=f(x)得证.

2020-03-13 10:44:52

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