【高数题求解：设f(x)有界,且f′(x)连续,对任意的x∈-查字典问答网

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　　【高数题求解：设f(x)有界,且f′(x)连续,对任意的x∈(-∞,+∞)有|f(x)+f′(x)|≤1,证明：|f(x)|≤1】

　　高数题求解：设f(x)有界,且f′(x)连续,对任意的x∈(-∞,+∞)有|f(x)+f′(x)|≤1,证明：|f(x)|≤1

1回答

2020-03-1312:02

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李沫楠

　　设F（x）=e^x[f(x)-1],则F′(x)=e^x[f(x)+f′(x)-1],

　　因为-1≤f(x)+f′(x)≤1,

　　所以F′(x)≤0,即F（x）单调不增,

　　因为F（x）单调有下界,

　　故存在limF（x）为F（x）的最大值,

　　x->-∞

　　因为f(x)有界,所以存在常数值m,M,使得m-∞

　　所以根据极限夹逼法可知,

　　limF（x）=0

　　x->-∞

　　则F（x）≤0,即e^x[f(x)-1]≤0,

　　因为e^x不等于0,所以f(x)-1≤0,即f(x)≤1.

　　若设F(X)=e^x[f(x)+1],则同理可得-1≤f(x),

　　综上所述,可得结论：|f(x)|≤1.

2020-03-13 12:06:05

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