体积公式

　　圆柱

　　圆柱体的体积公式：体积=底面积×高.如果用S底代表圆柱底面积、r代表底圆半径,h代表圆柱体的高,则圆柱体的体积为S底*h=πr^2h.

　　棱柱

　　常规公式

　　棱柱的体积=底面积×高

　　长方体

　　长方体的体积公式：体积=长×宽×高.（底面积乘以高S底·h）

　　如果用a、b、h分别表示长方体的长、宽、高

　　正方体

　　正方体的体积公式：体积=棱长×棱长×棱长.（底面积乘以高S底·h)

　　如果用a表示正方体的棱长,则

　　正方体的体积公式为V=a3.

　　锥体

　　常规公式

　　锥体的体积=底面面积×高×三分之一.

　　三棱锥

　　三棱锥是立体空间中最普通最基本的图形,正如三角形之于二维空间.

　　已知空间内三角形三顶点坐标A(a1,a2,a3),B(b1,b2,b3),C(c1,c2,c3),O为原点,则三棱锥O-ABC的体积V=∣（a1b2c3+b1c2a3+c1a2b3-a1c2b3-b1a2c3-c1b2a3)∣/6.

　　台体

　　台体体积公式:V=[S上+√(S上S下)+S下]h÷3.

　　圆台体积公式:V=[S+S′+√(SS′)]h÷3=πh(R^2+Rr+r^2)/3.

　　球体

　　球

　　球表面积公式：S=4πr^2.

　　球体积公式：V=(4/3)πr^3.

　　椭球

　　椭球在xyz-笛卡儿坐标系中的标准方程是：{x^2/a^2}+{y^2/b^2}+{z^2/c^2}=1,其体积是V=(4/3)πabc.(a与b,c分别代表各轴的一半)

　　面积公式

　　扇形公式

　　在半径为R的圆中,因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积S=πR^2,所以圆心角为n°的扇形面积：

　　S=n（圆心角）xπ（圆周率）xr2【半径的平方（2次方）】/360

　　比如：半径为1cm的圆,那么所对圆心角为135°的扇形的周长：

　　C=2R+nπR÷180

　　=2×1+135×3.14×1÷180

　　=2+2.355

　　=4.355(cm)=43.55(mm)

　　扇形的面积：

　　S=nπR^2÷360

　　=135×3.14×1×1÷360

　　=1.1775(cm^2)=117.75(mm^2)

　　扇形还有另一个面积公式

　　S=（1/2）Rl

　　其中l为弧长,R为半径[1]

　　扇环面积

　　圆环周长:外圆的周长+内圆的周长(圆周率X(大直径+小直径))

　　圆环面积:外圆面积-内圆面积(圆周率X大半径的平方-圆周率X小半径的平方圆周率X(大半径的平方-小半径的平方)

　　用字母表示：

　　S内+S外（∏R方）

　　S外—S内=∏(R方-r方）

　　还有第二种方法：

　　S=π[(R-r)×(R+r)]

　　R=大圆半径

　　r=圆环宽度=大圆半径-小圆半径

　　还有一种方法：

　　已知圆环的外直径为D,圆环厚度（即外内半径之差）为d.

　　d=R-r,

　　D-d=2R-（R-r）=R+r,

　　可由第一、二种方法推得S=π[(R-r)×(R+r)]=π(D-d)×d,

　　圆环面积S=π(D-d)×d

　　这是根据外直径和圆环厚度（即外内半径之差）得出面积.这两个数据在现实易于测量,适用于计算实物,例如圆钢管.

　　三角形公式

　　海伦公式

　　任意三角形的面积公式（海伦公式）：S^2=p(p-a)(p-b)(p-c),p=（a+b+c）/2,a.b.c为三角形三边.

　　证明：证一勾股定理

　　分析：先从三角形最基本的计算公式S△ABC=aha入手,运用勾股定理推导出海伦公式.

　　证明：如图ha⊥BC,根据勾股定理,得:x=y=ha===∴S△ABC=aha=a×=此时S△ABC为变形④,故得证.

　　证二：斯氏定理

　　分析：在证一的基础上运用斯氏定理直接求出ha.

　　斯氏定理:△ABC边BC上任取一点D,若BD=u,DC=v,AD=t.则t2=证明：由证一可知,u=v=∴ha2=t2=－∴S△ABC=aha=a×=此时为S△ABC的变形⑤,故得证.

　　证三：余弦定理

　　分析：由变形②S=可知,运用余弦定理c2=a2+b2－2abcosC对其进行证明.

　　证明：要证明S=则要证S===ab×sinC此时S=ab×sinC为三角形计算公式,故得证.

　　证四：恒等式分析：考虑运用S△ABC=rp,因为有三角形内接圆半径出现,可考虑应用三角函数的恒等式.恒等式：若∠A+∠B+∠C=180○那么tg·tg+tg·tg+tg·tg=1证明：如图,tg=①tg=②tg=③根据恒等式,得：++=①②③代入,得：∴r2(x+y+z)=xyz④如图可知：a+b－c=(x+z)+(x+y)－(z+y)=2x∴x=同理：y=z=代入④,得：r2·=两边同乘以,得：r2·=两边开方,得：r·=左边r·=r·p=S△ABC右边为海伦公式变形①,故得证.

　　证五：半角定理半角定理：tg=tg=tg=证明：根据tg==∴r=×y①同理r=×z②r=×x③①×②×③,得：r3=×xyz[3]

　　坐标公式

　　1：△ABC,三顶点的坐标分别为A(a1,a2),B(b1,b2)C(c1,c2),

　　S△ABC=∣a1b2+b1c2+c1a2-a1c2-c1b2-b1a2∣/2.

　　2:空间△ABC,三顶点的坐标分别为A(a1,a2,a3),B(b1,b2,b3)C(c1,c2c3),面积为S,则

　　S^2=（a1b2+b2c2+c1a2-a1c2-c1b2-b1a2)^2+(a2b3+b2c3+c2a3-a2c3-c2b3-b2a3)^2+

　　(a1b3+b1c3+c1a3-a1c3-c1b3-b1a3)^2.[4]

　　圆公式

　　设圆半径为：r,面积为：S.

　　则面积S=