概率论泊松分布设X、Y是相互独立的随机变量,分别服从参数为λ-查字典问答网

来自高秀荣的问题

　　概率论泊松分布设X、Y是相互独立的随机变量,分别服从参数为λ1、λ2的泊松分布,怎样证明Z=X+Y服从λ1+λ2的泊松分布?别人给的答案是用卷积,但泊松分布是关于离散型随机变量的,可用概率密

　　概率论泊松分布

　　设X、Y是相互独立的随机变量,分别服从参数为λ1、λ2的泊松分布,怎样证明Z=X+Y服从λ1+λ2的泊松分布?

　　别人给的答案是用卷积,但泊松分布是关于离散型随机变量的,可用概率密度吗?

3回答

2020-03-0214:34

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凌芸

　　若是没有记错的话,虽然卷积公式在连续型随机变量中提出来,但是有说过对于离散型随机变量也可使用,把那个积分改成求和就行了

2020-03-02 14:36:12

高秀荣

　　能具体为我证明此题吗？谢谢

2020-03-02 14:39:13

凌芸

　　不知道公式怎么打，只能简要说一说：因为X、Y服从泊松分布且相互独立，所以P（z=k）=sum（i=0，k）[p(x=i)p(y=k-i)];sum（i=0，k）为i=0,...,k求和.代入泊松分布的公式得到：P(z=k）=sum（i=0，k）{[e^(-λ1)(λ1^i)/i!][e^(-λ2)(λ2^(k-i))/(k-i)!]*(k!/k!)},(k!/k!的加入是为了凑二项式展开式系数的形式)将(1/k!)e^(-λ1)e^(-λ2)提出后会得到一个二项式的展开式，合并后为（λ1+λ2)^k,所以P（z=k）=(1/k!)e^(-λ1)e^(-λ2)（λ1+λ2)^k=e^[-(λ1+λ2)](λ1+λ2)^k/k!，所以服从λ1+λ2的泊松分布.

2020-03-02 14:39:45

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