【概率的证明做题时突然想到了一个问题：暗箱中开始有m个红球,-查字典问答网

来自施服光的问题

　　【概率的证明做题时突然想到了一个问题：暗箱中开始有m个红球,n个白球.每次从暗箱中取出一球后,将此球以及与它同色的m+n个球（共m+n+1个球）一齐放回暗箱中（此时箱内含有2m+2n个球）.第二】

　　概率的证明

　　做题时突然想到了一个问题：

　　暗箱中开始有m个红球,n个白球.每次从暗箱中取出一球后,将此球以及与它同色的m+n个球（共m+n+1个球）一齐放回暗箱中（此时箱内含有2m+2n个球）.第二次取出一个球后,仍将此球以及与它同色的m+n个球一齐放回暗箱中（此时箱内含有3m+3m个球）

　　第二次取出一个红球的概率是m/(m+n)

　　第三次取出一个红球的概率是m/(m+n)

　　第四次取出一个红球的概率我也笔算出来了,仍是m/(m+n)

　　第五次的我不会算了.

　　于是,我猜想,每一次取出红球的概率都是相等的,且都是m/(m+n),取出白球的概率都是n/(m+n),但是我不知道怎样证明.

　　请问如何证明呢?能不能用数学归纳法呢?

　　请仔细读题再回答,谢谢!

　　好回答将有高附加分!

　　一楼的显然没读懂题，认为只能取出红球。

　　原有m+n个球。第一次取球，还剩m+n-1个球。假如我拿的是一个红的，那么放回m+n+1个红球，否则放回m+n+1个白球。

1回答

2020-03-0307:08

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胡洪涛

　　可以用归纳法,前b次摸球恰有a次是红色的概率是c(b,a)*(m/(m+n))^a*(n/(m+n))^(b-a)

　　那么这种情况下,摸出红球的条件概率就是(a*(m+n)+m)/((b+1)*(m+n))

　　然后求和

　　就是sum（a=0,b）[b!/a!/(b-a)!*(m/(m+n))^a*(m/(m+n))^(b-a)*a*(m+n)]/(b+1)/(m+n)+m/(b+1)/(m+n)

　　sum(a=0,b)表示对后边方括号里面的内容求和,从a=0到a=b

　　求和部分化简为

　　sum（a=1,b）[(b-1)!/(a-1)!/((b-1)-(a-1))!*(m/(m+n))^(a-1)*(m/(m+n))^((b-1)-(a-1))]*b*(m+n)*(m/(m+n))/(b+1)/(m+n)

　　方括号里面求和后=1

　　所以求和部分化为b*m/(b+1)/(m+n)

　　最后结果为(b+1)*m/(b+1)/(m+n)=m/(m+n)

　　写得比较乱,凑合看下.

2020-03-03 07:10:12

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