△ABC的边长分别为a,b,c,P为△ABC内任一点,点P到-查字典问答网

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　　△ABC的边长分别为a,b,c,P为△ABC内任一点,点P到三边的距离分别为z、x、y求当a/x+b/y+c/z取最小值时点P的位置

　　△ABC的边长分别为a,b,c,P为△ABC内任一点,点P到三边的距离分别为z、x、y

　　求当a/x+b/y+c/z取最小值时点P的位置

1回答

2020-03-0223:15

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黄锡滋

　　先证一个不等式a、b、c、x、y、z为正数时

　　﹙ax＋by＋cz﹚﹙a/x+b/y+c/z﹚＝a²＋b²＋c²＋﹙aby＋acz﹚/x＋﹙abx＋cbz﹚/y＋﹙acx＋bcy﹚/z＝a²＋b²＋c²＋ab[﹙x/y﹚＋﹙y/x﹚]＋ac[﹙x/z﹚＋﹙z/x﹚]＋bc[﹙y/z﹚＋﹙z/y﹚]≥a²＋b²＋c²＋2ab＋2bc＋2ca＝﹙a＋b＋c﹚²等号仅在x＝y＝z时成立

　　ax＋by＋cz＝2SS为△ABC面积为一定值

　　∴a/x+b/y+c/z≥﹙a＋b＋c﹚²/2S等号仅在x＝y＝z时成立这时P为△ABC的内心