不用二重积分的,可以有简单的办法的.

　　设正态分布概率密度函数是f(x)=[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]

　　其实就是均值是u,方差是t^2,百度不太好打公式,你将就看一下.

　　于是：

　　∫e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=(√2π)t.（*）

　　积分区域是从负无穷到正无穷,下面出现的积分也都是这个区域,所以略去不写了.

　　（1）求均值

　　对（*）式两边对u求导：

　　∫{e^[-(x-u)^2/2(t^2)]*[2(u-x)/2(t^2)]dx=0

　　约去常数,再两边同乘以1/(√2π)t得：

　　∫[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]*(u-x)dx=0

　　把(u-x)拆开,再移项：

　　∫x*[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=u*∫[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx

　　也就是

　　∫x*f(x)dx=u*1=u

　　这样就正好凑出了均值的定义式,证明了均值就是u.

　　(2)方差

　　过程和求均值是差不多的,我就稍微略写一点了.

　　对(*)式两边对t求导：

　　∫[(x-u)^2/t^3]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=√2π

　　移项：

　　∫[(x-u)^2]*[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=t^2

　　也就是

　　∫(x-u)^2*f(x)dx=t^2

　　正好凑出了方差的定义式,从而结论得证.