【已知关于x的方程x3+ax2+bx+c=0的三个实根可作为-查字典问答网

来自吕平宝的问题

　　【已知关于x的方程x3+ax2+bx+c=0的三个实根可作为一个椭圆、一条双曲线和一条抛物线的离心率，则b−1a+1的取值范围为______．】

　　已知关于x的方程x3+ax2+bx+c=0的三个实根可作为一个椭圆、一条双曲线和一条抛物线的离心率，则b−1a+1的取值范围为______．

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2020-02-1021:45

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潘喆

　　依题意，关于x的方程x3+ax2+bx+c=0有一个根是1

　　所以可设x3+ax2+bx+c=0=（x-1）（x2+mx+n）

　　根据多项式恒等的充要条件，得

　　m-1=a①

　　n-m=b②

　　n+c=0③

　　取①②两式联立得

　　m=a+1，n=a+b+1

　　构造函数f（x）=x2+mx+n即f（x）=x2+（a+1）x+（a+b+1）

　　依题意f（x）=0的两个根x1，x2分别作为椭圆和双曲线的离心率

　　故0＜x1＜1＜x2

　　根据一元二次方程根的分布，可得关于实系数a，b的约束条件：

　　判别式=（a+1）2-4（a+b+1）=（a-1）2-4b-4＞0

　　f（0）=a+b+1＞0，f（1）=2a+b+3＜0

　　令a为横轴，b为纵轴，建立平面直角坐标系，作出这三个不等式所对应的平面区域S，

　　设P（a，b）是平面区域S内的任意一点，A（-1，1），k=b−1a+1

2020-02-10 21:46:40

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