【已知圆X2+Y2=5椭圆：2x2+3y2=6,过圆上任意一-查字典问答网

来自程贵和的问题

　　【已知圆X2+Y2=5椭圆：2x2+3y2=6,过圆上任意一点P做椭圆的两条切线,若其斜率都存在,求其斜率之积是定值】

　　已知圆X2+Y2=5椭圆：2x2+3y2=6,过圆上任意一点P做椭圆的两条切线,若其斜率都存在,求其斜率之积是定值

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2020-02-1018:51

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邓宏

　　设圆上任意点为P(m,n),则有m^2+n^2=5

　　设过P点的直线斜率为k,则有y=k(x-m)+n

　　代入椭圆得2x^2+3[k(x-m)+n]^2=6,

　　整理得

　　(2+3k^2)x^2-6k(km-n)x+3[(km-n)^2-2]=0

　　过椭圆外一点可做两条椭圆的切线,设其斜率分别为k1,k2

　　则当k取定值时,直线与椭圆只有一个交点

　　即有△=[6k(km-n)]^2-4*3(2+3k^2)[(km-n)^2-2]=0

　　整理化简可得(m^2-3)k^2-2mnk+n^2-2=0

　　那么,k1,k2即为上述方程的两个解

　　∴由韦达定理有k1k2=(n^2-2)/(m^2-3)

　　由m^2+n^2=5经适当变形可得n^2-2=3-m^2=-(m^2-3)

　　即有(n^2-2)/(m^2-3)=-1

　　∴有k1k2=-1,即两切线斜率乘积为-1

2020-02-10 18:53:43

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