【p为等边三角形ABC内一点,PAPBPC的长均为整数,且满-查字典问答网

来自潘静川的问题

　　【p为等边三角形ABC内一点,PAPBPC的长均为整数,且满足PA的平方加PB的平方等于PC的平方.若PA=3,则等边三角形的面积是多少?】

　　p为等边三角形ABC内一点,PAPBPC的长均为整数,且满足PA的平方加PB的平方等于PC的平方.若PA=3,则等边三角形的面积是多少?

1回答

2020-02-0803:23

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李锐

　　因为边长均为整数且一边长为3的直角三角形只有一个,就是三边长分别为

　　3,4,5.现在将三角形APB以A为顶点顺时针旋转60度,则AB与AC重合,此时设

　　P点落到Q处,注意到三角形三角形APB全等于三角形AQC,它们的面积也相等,而四边形APQC的面积＝三角形APC的面积＋三角形AQC的面积＝三角形APQ的面积＋直角三角形PQC的面积＝9/4*根号3+6,也就是三角形APB的面积＋三角形APC的面积＝9/4*根号3+6.

　　同样地,以B为顶点,将三角形BPC逆时针旋转60度,则BC与AB重合,此时设P点落到R点,与上面类似,此时可以求出三角形APB的面积＋三角形BPC的面积＝

　　4根号3＋6.

　　最后以C为顶点将三角形BPC逆时针旋转60度,可以求得三角形BPC的面积+三角形APC的面积＝25/4*根号3+6,注意到三角形ABC的面积＝三角形APB＋BPC+CPA的面积,因此三角形ABC的面积＝1/2[(9/4*根号3+6)+(4根号3＋6)+(25/4*根号3+6)]

　　=13/2*根号3＋9

2020-02-08 03:27:54

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