用向量方法求空间角和距离

　　空间角和距离是最基本的两个几何量,空间图形中各元素的位置关系都可以用这两个几何量来定量地描述,因此,有关空间角和距离的计算,是立体几何的一类重要问题,是历年来高考考查的重点,本文运用向量方法简捷地解决这些方法.

　　一．求空间角问题

　　1．求异面直线的夹角

　　设分别为异面直线的方向向量,则由向量的数量积可知,异面直线的夹角由得出.

　　【例1】在三棱锥中,,

　　①证明：

　　②求异面直线.（2002年高考题）

　　解析：①由题意得：

　　故：

　　③由

　　【例2】如图,在正方体中,的中点,分别是面,的中心,求异面直线

　　解析：建立如图所示的空间直角坐标系,取正方体的棱长为2,

　　则

　　由

　　故,即

　　2．求二面角

　　如图,设是二面角的两个半平面的一个法向量,其方向一个指向内侧,另一个指向外侧,法向量的夹角为,就是二面角的平面角：据此,只要求得二面角两个半平面的异侧法向量,即可得到二面角的平面角.要注意调整好向量的方向,使其夹角为二面角的平面角.

　　【例3】如图,四棱锥的底面是边长为的正方形,

　　,证明无论四棱锥的高怎样变化,面

　　与面所成的二面角恒大于.

　　解析：建立如图所示的空间直角坐标系,设,依题意有：

　　,设是面的一个法

　　向量,则即令

　　得,设是面的一个法向量,则即

　　令,得,由得即无论四棱锥的高怎样变化,面与面所成的二面角恒大于.

　　【例4】如图,在底面是直角梯形的四棱锥中,,求面.

　　解析：建立如图所示的空间直角坐标系,则,

　　,设是面的一个法向量,则

　　即令得,

　　又知是面的一个法向量,

　　所以.

　　【例5】在四棱锥中,底面是矩形,,且

　　平面能否垂直?说明之.

　　解析：由,得

　　设平面的法向量,则

　　即,所以

　　又,即,所以：

　　所以：所以所以：

　　,设平面的法向量为：,则

　　,同理得：,所以,

　　故平面不可能垂直.

　　【例6】如图,底面是等腰直角三角形的直三棱柱,,为上的点,且,求二面角的大小.

　　解析：建立如图所示的空间直角坐标系,设则：

　　,设为平面的一个

　　法向量,则即令得,易知平面的一个法向量为,所以,由图可知：二面角

　　为：.

　　【点拔】二面角问题通过法向量的引入,使复杂的添加辅助线不必进行,解题一下子变得轻松易懂.

　　3．求线面角

　　如图,设是平面的斜线,是的一个法向量,是垂足,则向量上的射影长为：

　　,与平面的夹角满足：即

　　或：,据此,只须求得平面的一个法向量及向量或,即可求

　　得斜线与平面的夹角.

　　【例7】如图,正三棱柱的底面边长为,侧棱长为,求与侧面所成的角.

　　解析：建立如图所示的空间直角坐标系,则

　　,取的中点,连结,由

　　得,故.由

　　得：,故：

　　所成角为.

　　【例8】如图,在直三棱柱中,,求与

　　侧面所成角的正弦值.

　　解析：建立如图所示的空间直角坐标系,设

　　则由得：

　　,故:.

　　设是面的一个法向量,则即令得又所以与面所成角的正弦为：

　　二．求空间距离问题

　　1．求点线距离

　　如图,求得向量在向量上的射影长为,则点到直线的距离为.

　　【例9】设为矩形所在平面外的一点,直线求点到直线的距离.

　　解析：如图,因为,

　　所以上的射影长为故到直线的距离为：

　　2．求点面距离

　　如图所示,设则外一点到平面的距离,就是向量

　　上的射影长度,即到平面的距离为：,据此,只须求得平面的一个法向量与向量,即可得点到的距离.

　　【例10】已知为平面的一条斜线,为平面的一个法

　　向量,求证：到平面的距离为：.

　　证明：因为,所以到平面的距离为：

　　【例11】如图,在棱长为的正方体中,分别是的中点,求点到截面的距离.

　　解析：建立如图所示的空间直角坐标系,则,

　　,,设为面的一个

　　法向量,则即令得,又,所以点

　　到截面的距离为

　　【点拔】对于线面距离、面面距离、可能通过转化为点面距离来求解,所以点面距离的向量求法可以加以推广,进会合理运用.

　　【例12】如图,已知是边长为的正方形,分别为的中点,垂直于所在平面,且,求：点到平面的距离.

　　解析：建立如图所示的空间直角坐标系,则

　　,设是平面

　　的一个法向量,即令得

　　所以向量在上的射影长为

　　3．求异面直线距离

　　【例13】已知异面直线,的公垂线段,分别为上的任意一点,为的一个方向向量,求证：

　　解析：因为,所以

　　由,得所以：故：

　　所以：

　　【例14】如图,在正方体中,棱长为为的中点,求异面直线的距离.

　　解析：建立如图所示的空间直角坐标系,则

　　,设为公垂线上一个方向向量,

　　即令得

　　又,所以异面直线的距离.

　　【点拔】在上面的解法中,我们避免了繁锁的辅助线,而代之以简单的坐标运算,降低了思维难度,简单易解.

　　【例15】在四棱锥中,底面是边长为的正方形,侧棱

　　分别为棱的中点,求异面直线

　　解析：建立如图所示的空间直角坐标系,则

　　,设为的公垂

　　线的一个方向向量,则即令得,故：

　　异面直线.

　　【总结】通过上面的一些例子,我们可以看到向量在解决空间角和距离方面的作用,当然,以上所举的一些例子,用传统方法去做,也是可行的,甚至有的还较为简单,用向量的好处在于克服传统立几以纯几何方式解决问题带来的高度的技巧性和随机性,为解决空间