【已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y=ax2+2bx-查字典问答网

来自任明仑的问题

　　【已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y=ax2+2bx+c，y=bx2+2cx+a，y=cx2+2ax+b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点．】

　　已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y=ax2+2bx+c，y=bx2+2cx+a，y=cx2+2ax+b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点．

1回答

2020-02-0500:39

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贾彦民

　　假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x有两个不同的交点

　　（即任何一条抛物线与x轴没有两个不同的交点），

　　由y=ax2+2bx+c，y=bx2+2cx+a，y=cx2+2ax+b得△1=（2b）2-4ac≤0，

　　△2=（2c）2-4ab≤0，

　　△3=（2a）2-4bc≤0．

　　同向不等式求和得，

　　4b2+4c2+4a2-4ac-4ab-4bc≤0，

　　∴2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac≤0，

　　∴（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2≤0，

　　∴a=b=c，这与题设a，b，c互不相等矛盾，

　　因此假设不成立，从而命题得证．

2020-02-05 00:43:09

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