导数应用水以15πm³/s的速度流入一倒置圆锥容器-查字典问答网

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　　导数应用水以15πm³/s的速度流入一倒置圆锥容器,设容器深30米,上底直径为12米,则当水流入时间为3秒时,水面上升的速度是?（用导数）

　　导数应用

　　水以15πm³/s的速度流入一倒置圆锥容器,设容器深30米,上底直径为12米,则当水流入时间为3秒时,水面上升的速度是?（用导数）

1回答

2020-02-0301:53

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汤德明

　　解法一:初等数学解法

　　设水面上升速度是v.

　　3秒内流入的水量=15π×3=45π（m³）

　　横截面的面积×水深/3=45π

　　πr²h/3=45π,r²h=135

　　根据相似三角形的相似比：r/h=6/30,h=5r

　　所以,5r³=135,r=3,横截面积=9π

　　所以,v=15π/9π=5/3(m/s)

　　解法二：导数法

　　根据相似三角形的相似比：r/h=6/30,h=5r

　　所以,πr²h/3=45π,5r³=135,r=3,

　　dV/dt=15π[V为水的体积]

　　V=πr²h/3=5πr³/3

　　dV/dt=5πr²dr/dt

　　dh/dt=5dr/dt=5(dV/dt)/5πr²=75π/5πr²

　　=15/r²=15/9=5/3(m/s)

2020-02-03 01:57:25

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