关于整除之类问题的数学题已知一次函数y=-11x/13+k/-查字典问答网
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  关于整除之类问题的数学题已知一次函数y=-11x/13+k/13的图像为直线L(1)求证:当k=119时,直线L不可能经过非负整数点.注:若x大于等于0,y大于等于0,且x,y都是整数,则称(x,y)为非负整数点(2)

  关于整除之类问题的数学题

  已知一次函数y=-11x/13+k/13的图像为直线L

  (1)求证:当k=119时,直线L不可能经过非负整数点.

  注:若x大于等于0,y大于等于0,且x,y都是整数,则称(x,y)为非负整数点

  (2)当k是大于119的任意自然数时,直线l必经过一非负整数点.

1回答
2020-01-2816:50
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管军伟

  1.

  y=(k-11x)/13

  变形

  k=11x+13y

  k=119时,易验证方程没有非负整数解

  2.

  先证明一个定理:

  不定方程a1x+a2y=c,a1,a2,c都是正整数且(a1,a2)=1,那么当c≥(a1-1)(a2-1)时,方程恒有非负整数解

  证明:

  以[a]表示[a]的整数部分,{a}表示a的小数部分

  设(x1,x2)是方程的一组非负整数特解,那么方程所有的解为:

  x=x1+a2t

  y=x2-a1t

  由x≥0,y≥0,得:

  -[x0/a2]≤t≤[x1/a1]

  所以方程的非负整数解个数N=[x0/a2]+[x1/a1]+1

  当c≥(a1-1)(a2-1)=a1a2-a1-a1+1时

  1-1/a1-1/a2

  -1

  所以N=[x0/a2]+[x1/a1]+1>0

  说明有方程非负解,证毕

  回到题目来,11x+13y=k,(11,13)=1,当k≥(11-1)(13-1)=120时,方程恒有非负整数解

  亦即,k>119时,方程恒有非负整数解,L恒过一非负整数点,得证.

  例如:

  120=11*5+13*5

  121=11*11+13*0

  122=11*4+13*6

  等等

2020-01-28 16:54:20
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