求二次函数解析式的若干思路

　　二次函数是初中数学主要内容之一,也是联系高中数学的重要纽带.它是初中《代数》中“函数及其图象”中的难点,求二次函数的解析式又是重点.求二次函数的解析式,应恰当地选用二次函数解析式的形式,选择得当,解题简捷,若选择不当,解题繁琐.解题时,应根据题目的特点灵活选用二次函数解析式的形式,运用待定系数法求解.下面举例说明.

　　思路1、已知图象过三点,求二次函数的解析式,一般用它的一般形式：较方便.

　　例1、已知二次函数的图象过（－1,－9）、（1,－3）和（3,－5）三点,求此二次函数的解析式.

　　设此二次函数的解析式为,由题意得：

　　解之得

　　∴所求的二次函数的解析式为

　　思路2、已知顶点坐标,对称轴、最大值或最小值,求二次函数解析式,一般用它的顶点式较方便.

　　例2、已知抛物线的顶点（－1,－2）且图象经过（1,10）,

　　设抛物线,由题意得：

　　∵抛物线过点（1,10）

　　即解析式为

　　思路3、已知图象与轴两交点坐标,可用的形式,其中、为抛物线与轴的交点的横坐标,也是一元二次方程的两个根.

　　例3、已知二次函数的图象与轴的交点为（－5,0）,（2,0）,且图象经过（3,－4）,

　　∵图象经过（3,－4）

　　∴∴

　　即：

　　则所求解析式为.

　　思路4、已知图象与轴两交点间距离,可用的形式来求,其中为两交点之间的距离,为其中一个与轴相交的交点的横坐标.

　　例4、二次函数的图象与轴两交点之间的距离是2,且过（2,1）、（－1,－8）两点,求此二次函数的解析式.

　　设二次函数解析式为由已知

　　∴

　　又由已知得：

　　解之得：或

　　∴所求二次函数解析式为：

　　思路5、由已知图象的平移求解析式,一般是把已知图象的解析式写成的形式,若图象向左（右）移动个单位,括号里的值就加（减）个单位；若图象向上（下）平移个单位,的值就加（减）个单位,即左加右减,上加下减,平移后的抛物线形状不变,大小不变.

　　例5、把二次函数的图象向右平移个单位,再向上平移个单位,求所得二次函数的解析式.

　　向右平移2个单位得：

　　即：

　　再向上平移3个单位得：

　　即：

　　∴所求二次函数解析式为.

　　思路6、已知一个二次函数,要求其图象关于轴对称（也可以说沿轴翻折）；轴对称及经过其顶点且平行于轴的直线对称,（也可以说抛物线图象绕顶点旋转180°）的图象的函数解析式,先把原函数的解析式化成的形式.

　　（1）关于轴对称的两个图象的顶点关于轴对称,两个图象的开口方向相反,即互为相反数.

　　（2）关于轴对称的两个图象的顶点关于轴对称,两个图象的形状大小不变,即相同.

　　（3）关于经过其顶点且平行于轴的直线对称的两个函数的图象的顶点坐标不变,开口方向相反,即互为相反数.

　　例6；已知二次函数,求满足下列条件的二次函数的解析式：（1）图象关于轴对称；（2）图象关于轴对称；（3）图象关于经过其顶点且平行于轴的直线对称.

　　可转化为,据对称式可知①图象关于轴对称的图象的解析式为,即：.

　　②图象关于轴对称的图象的解析式为：

　　,即：；

　　③图象关于经过其顶点且平行于轴的直线对称的图象的解析式为,即.

　　思路7、数形结合式的二次函数的解析式的求法,此种情况是融代数与几何为一体,把代数问题转化为几何问题来解决,只要充分运用有关几何知识即可达目的.

　　例7、设二次函数图象与轴交于两点、,与轴交于点,若,求此二次函数的解析式.

　　在中,

　　∵

　　∴

　　又∵

　　∴RtΔOBC∽RtΔABC,RtΔOAC∽RtΔABC,

　　RtΔOAC∽RtΔOBC

　　∴

　　∴

　　设所求的抛物线解析式为,即

　　即,得：

　　所以所求抛物线为：

　　思路8、对于综合式的二次函数解析式的求法,以二次函数为背景来设计的综合题大多作为中考的压轴题,是用来拉开分数档次的试题,它一般以二次函数为中心,与代数、几何、三角等知识进行有机地融合.此种题型集初中代数、几何、三角等知识于一身,沟通了许多知识点之间的纵横联系,解题时,要根据几何图形的有关性质,建立等量关系,求出函数关系式或由函数图象中的几何图象,运用数形综合方法解决有关函数几何问题.只要将各知识点的问题予以解决即可求解.

　　例8、如图,EB是半圆O的直径,EB=6,在BE的延长线上取点P,使EP=EB,A是EP上一个动点（A点与E点不重合）,过A作⊙O的切线AD,切点为D,过D作DF⊥AB,垂足为F,过B作AD的垂线BH交AD的延长线于点H,连结ED和FH,设,求与的函数关系式,并写出自变量的取值范围.

　　连结BD

　　∵EB是半圆O的直径

　　∴∠EDB=90°

　　∴

　　∵BH⊥DA

　　∴∠BHD=90°

　　∵AH为⊙O的切线

　　∴∠BDH=∠DEB

　　∴RtΔBDH∽RtΔBED

　　∴

　　∴

　　∴

　　由条件,与A与P重合时,有

　　∴

　　又∵ΔPDE∽ΔPBD

　　∴

　　∴

　　则自变量的取值范围为.