求解二阶微分方程的初值问题：yy''=1+(-查字典问答网

来自史晓晶的问题

　　求解二阶微分方程的初值问题：yy''=1+(y')^2,y(1)＝1,y'(1)=0

1回答

2020-01-2316:59

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马良荔

　　设y'=p,则y''=p(dp/dy)

　　代入原方程得yp(dp/dy)=1+p²

　　==>pdp/(1+p²)=dy

　　==>ln(1+p²)=2ln│y│+C(C是积分常数)

　　∵y(1)＝1,y'(1)=0

　　∴当x=1时,p=1==>C=0

　　∴ln(1+p²)=2ln│y│

　　==>1+p²=y²

　　==>y'=√(y²-1),或y'=-√(y²-1)

　　==>dy/√(y²-1)=dx,或dy/√(y²-1)=-dx

　　==>ln│y+√(y²-1)│=x+C,或ln│y+√(y²-1)│=-x+C（C是积分常数）

　　∵y(1)＝1

　　∴C=-1,或C=1

　　==>y+√(y²-1)=e^(x-1),或y+√(y²-1)=e^(1-x)

　　故原方程满足初值的解是y+√(y²-1)=e^(x-1),或y+√(y²-1)=e^(1-x).

2020-01-23 17:00:06

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