绝对值是初中代数中的一个基本概念,在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式,以及求解方程与不等式时,经常会遇到含有绝对值符号的问题,同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问题．

　　下面我们先复习一下有关绝对值的基本知识,然后进行例题分析．

　　一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．即

　　绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识,它与距离的概念密切相关．在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值．

　　结合相反数的概念可知,除零外,绝对值相等的数有两个,它们恰好互为相反数．反之,相反数的绝对值相等也成立．由此还可得到一个常用的结论：任何一个实数的绝对值是非负数．

　　例1a,b为实数,下列各式对吗?若不对,应附加什么条件?

　　(1)｜a+b｜=｜a｜+｜b｜；

　　(2)｜ab｜=｜a｜｜b｜；(3)｜a-b｜=｜b-a｜；

　　(4)若｜a｜=b,则a=b；

　　(5)若｜a｜＜｜b｜,则a＜b；

　　(6)若a＞b,则｜a｜＞｜b｜．

　　解(1)不对．当a,b同号或其中一个为0时成立．(2)对．

　　(3)对．

　　(4)不对．当a≥0时成立．

　　(5)不对．当b＞0时成立．

　　(6)不对．当a＋b＞0时成立．

　　例2设有理数a,b,c在数轴上的对应点如图1-1所示,化简｜b-a｜+｜a+c｜+｜c-b｜．

　　解由图1-1可知,a＞0,b＜0,c＜0,且有｜c｜＞｜a｜＞｜b｜＞0．根据有理数加减运算的符号法则,有b-a＜0,a＋c＜0,c-b＜0．

　　再根据绝对值的概念,得

　　｜b-a｜=a-b,｜a+c｜=-(a+c),｜c-b｜=b-c．

　　于是有

　　原式=(a-b)-(a+c)+(b-c)=a-b-a-c+b-c=-2c．

　　例3已知x＜-3,化简：｜3+｜2-｜1+x｜｜｜．

　　分析这是一个含有多层绝对值符号的问题,可从里往外一层一层地去绝对值符号．

　　解原式=｜3+｜2+(1+x)｜｜(因为1+x＜0)

　　=｜3+｜3+x｜｜

　　=｜3-(3+x)｜(因为3+x＜0)

　　=｜-x｜=-x．

　　解因为abc≠0,所以a≠0,b≠0,c≠0．

　　(1)当a,b,c均大于零时,原式=3；

　　(2)当a,b,c均小于零时,原式=-3；

　　(3)当a,b,c中有两个大于零,一个小于零时,原式=1；

　　(4)当a,b,c中有两个小于零,一个大于零时,原式=-1．

　　说明本例的解法是采取把a,b,c中大于零与小于零的个数分情况加以解决的,这种解法叫作分类讨论法,它在解决绝对值问题时很常用．

　　例5若｜x｜=3,｜y｜=2,且｜x-y｜=y-x,求x+y的值．

　　解因为｜x-y｜≥0,所以y-x≥0,y≥x．由｜x｜=3,｜y｜=2可知,x＜0,即x=-3．

　　(1)当y=2时,x+y=-1；

　　(2)当y=-2时,x+y=-5．

　　所以x+y的值为-1或-5．

　　例6若a,b,c为整数,且｜a-b｜19+｜c-a｜99=1,试计算｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜的值．

　　解a,b,c均为整数,则a-b,c-a也应为整数,且｜a-b｜19,｜c-a｜99为两个非负整数,和为1,所以只能是

　　｜a-b｜19=0且｜c-a｜99=1,①

　　或

　　｜a-b｜19=1且｜c-a｜99=0．②

　　由①有a=b且c=a±1,于是｜b-c｜=｜c-a｜=1；由②有c=a且a=b±1,于是｜b-c｜=｜a-b｜=1．无论①或②都有

　　｜b-c｜=1且｜a-b｜+｜c-a｜=1,

　　所以

　　｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜=2．

　　解依相反数的意义有

　　｜x-y+3｜=-｜x+y-1999｜．

　　因为任何一个实数的绝对值是非负数,所以必有｜x-y+3｜=0且｜x+y-1999｜=0．即

　　由①有x-y=-3,由②有x+y=1999．②-①得

　　2y=2002,y=1001,

　　所以

　　例8化简：｜3x+1｜+｜2x-1｜．

　　分析本题是两个绝对值和的问题．解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号．若分别去掉每个绝对值符号,则是很容易的事．例如,化简｜3x+1｜,只要考虑3x+1的正负,即可去掉绝对值符号．这里我们

　　为三个部分(如图1－2所示),即

　　这样我们就可以分类讨论化简了．

　　原式=-(3x+1)-(2x-1)=5x；

　　原式=(3x+1)-(2x-1)=x+2；

　　原式=(3x+1)+(2x-1)=5x．

　　即

　　说明解这类题目,可先求出使各个绝对值等于零的变数字母的值,即先求出各个分界点,然后在数轴上标出这些分界点,这样就将数轴分成几个部分,根据变数字母的这些取值范围分类讨论化简,这种方法又称为“零点分段法”．

　　例9已知y=｜2x+6｜+｜x-1｜-4｜x+1｜,求y的最大值．

　　分析首先使用“零点分段法”将y化简,然后在各个取值范围内求出y的最大值,再加以比较,从中选出最大者．

　　解有三个分界点：-3,1,-1．

　　(1)当x≤-3时,

　　y=-(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=x-1,

　　由于x≤-3,所以y=x-1≤-4,y的最大值是-4．

　　(2)当-3≤x≤-1时,

　　y=(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=5x+11,

　　由于-3≤x≤-1,所以-4≤5x+11≤6,y的最大值是6．

　　(3)当-1≤x≤1时,

　　y=(2x+6)-(x-1)-4(x+1)=-3x+3,

　　由于-1≤x≤1,所以0≤-3x+3≤6,y的最大值是6．

　　(4)当x≥1时,

　　y=(2x+6)+(x-1)-4(x+1)=-x+1,

　　由于x≥1,所以1-x≤0,y的最大值是0．

　　综上可知,当x=-1时,y取得最大值为6．