【关于抛物线和圆（初中）有一抛物线,y=x^2+2mx-n^-查字典问答网

来自戎铁华的问题

　　【关于抛物线和圆（初中）有一抛物线,y=x^2+2mx-n^2过点（1,1）他与坐标轴有三个交点,这三个交点可构成一圆,随着mn的变化,有的位置在变.证明：圆经过定点.并求定点的坐标.】

　　关于抛物线和圆（初中）

　　有一抛物线,y=x^2+2mx-n^2过点（1,1）

　　他与坐标轴有三个交点,这三个交点可构成一圆,随着mn的变化,有的位置在变.证明：圆经过定点.并求定点的坐标.

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2020-01-2323:41

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马海红

　　抛物线过（1,1）,所以有：1=1^2+2m-n^2,即n^2=2m;

　　抛物线方程可化为y=x^2+2mx-2m.

　　与坐标轴有三个交点,则与y轴交于(0,-2m),

　　与x轴交于(x1,0),(x2,0),且有：

　　x1+x2=-2m

　　x1*x2=-2m

　　三个交点构成一圆,设圆方程为x^2+y^2+Ax+By+C=0

　　则有：

　　4m^2-2mB+C=0①

　　x1^2+Ax1+C=0②

　　x2^2+Ax2+C=0③

　　②-③得

　　(x1+x2)(x1-x2)+A(x1-x2)=0

　　x1-x2≠0,故x1+x2+A=0,即A=-(x1+x2)=2m

　　②+③得

　　x1^2+x2^2+A(x1+x2)+2C=0,得

　　C=-2m

　　由①得

　　B=2m-1

　　所以圆方程为x^2+y^2+2mx+(2m-1)y-2m=0,2m(x+y-1)+x^2+y^2-y=0

　　所以圆经过由

　　x+y-1=0④

　　x^2+y^2-y=0⑤

　　组成的方程组所得解的点

　　即点(0,1),(1/2,1/2)

2020-01-23 23:45:04

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