f(x)在x=0处可导,有F(x)=f(x)(1+|sinx-查字典问答网

来自李景银的问题

　　f(x)在x=0处可导,有F(x)=f(x)(1+|sinx|),则证明F(x)在x=0处可导的充要条件是f(0)=0

1回答

2020-01-2321:17

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乔宇

　　F(x)=f(x)(1+|sinx|),F(0)=f(0)

　　F'(0)=lim(x->0)[F(x)-F(0)]/x

　　=lim(x->0)[f(x)*(1+|sinx|)-f(0)]/x

　　=lim(x->0)[f(x)-f(0)]/x+lim(x->0)f(x)*|sinx|/x

　　=f'(0)+lim(x->0)f(x)*|sinx|/x

　　lim(x->0+)|sinx|/x=1,lim(x->0-)|sinx|/x=-1

　　于是lim(x->0)f(x)*|sinx|/x存在lim(x->0)f(x)=0

　　f(x)在x=0处可导,必连续,故lim(x->0)f(x)=f(0)=0

　　即F(x)在x=0处可导的充要条件是f(0)=0.

2020-01-23 21:21:21

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