求y''+2y'+y=3e^-x的通-查字典问答网

来自程锦松的问题

　　求y''+2y'+y=3e^-x的通解

1回答

2020-12-2903:17

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金鸿

　　y''+2y'+y=3e^-x

　　齐次特征方程

　　r^2+2r+1=0

　　r=-1

　　所以齐次通解是

　　y=(C1+C2x)e^(-x)

　　由于等号右边包含在通解中

　　所以设非齐次特解为

　　y=ax^2e^(-x)

　　y'=2axe^(-x)-ax^2e^(-x)

　　y''=2ae^(-x)-2axe^(-x)-2axe^(-x)+ax^2e^(-x)

　　=2ae^(-x)-4axe^(-x)+ax^2e^(-x)

　　代入原方程得

　　2ae^(-x)-4axe^(-x)+ax^2e^(-x)+2[2axe^(-x)-ax^2e^(-x)]+ax^2e^(-x)

　　=2ae^(-x)=3e^-x

　　a=3/2

　　所以特解是y=3/2x^2e^(-x)

　　所以非齐次通解是

　　y=(C1+C2x)e^(-x)+3/2x^2e^(-x)

2020-12-29 03:19:54

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