求一道二次函数数学题的解法!已知直线y=1/2x和y=-x+-查字典问答网

来自樊建聪的问题

　　求一道二次函数数学题的解法!已知直线y=1/2x和y=-x+m,二次函数y=x^2+px+q的图象顶点为M（1）若M恰在直线y=1/2x与y=-x+m的交点处,试证明无论m取何实数值,二次函数y=x^2+px+q的图象与直线y=-x+m总有两个

　　求一道二次函数数学题的解法!

　　已知直线y=1/2x和y=-x+m,二次函数y=x^2+px+q的图象顶点为M

　　（1）若M恰在直线y=1/2x与y=-x+m的交点处,试证明无论m取何实数值,二次函数y=x^2+px+q的图象与直线y=-x+m总有两个不同的交点

　　（2）在（1）的条件下,若直线y=-x+m过点D（0,-3）,求二次函数y=x^2+px+q的表达式,并作出其大致图象

　　（3）在（2）的条件下,若二次函数y=x^2+px+q的图象与y轴交于点C,于x轴的左交点为A,试在直线y=1/2x上求异于M的点P,是P在△CMA的外接圆上

　　说明：1．直线y=1/2x中k=1/2

　　2．二次函数中x^2表示x的平方

　　3．作函数图象就不必了,有了解析式我自己会作

　　有些数学符号打的不太标准,望原谅

　　请尽快回答!

1回答

2020-12-2720:06

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陈达立

　　(1)联列两直线方程y=1/2x,y=-x+m得

　　点M(2/3m,1/3m)

　　对二次曲线求导y'=2x+p,令y’=0,将顶点M代入得

　　p=-4/3m,再代入二次曲线函数得

　　q=1/3m+4/9m^2

　　将曲线方程y=x^2+px+q与直线方程y=-x+m联列得

　　方程x^2+(p+1)x+q-m=0,且将p,q代入根检验式

　　(p+1)^2-4(q-m)=1>0（代进去计算很快）

　　所以方程有两个不同解,即曲线与直线有两个不同的交点

　　(2)在(1)条件下,由y=-x+m过点D求得m=-3

　　代入(1)中两式进一步求出p=4,q=3

　　所以曲线方程y=x^2+4x+3

　　(3)由(2)中求得的曲线得

　　C(0,3),A(-3,0),M(-2,-1),于是构成△CMA

　　计算得AC的斜率为1,AM的斜率为-1

　　所以AC垂直于AM

　　所以CM为△CMA的外接圆的直径

　　所以CM中点为圆心O(-1,1),求得半径平方为5

　　则圆的方程为(x+1)^2+(y-1)^2=5

　　将圆方程与直线y=1/2x联列求得

　　另一个交点p(6/5,3/5)

　　有点乱,看不清楚的地方可以问.

2020-12-27 20:08:22

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