求微分方程dy/dx=[x(1+y^2)]/[(1+x^2)-查字典问答网

来自管贻生的问题

　　求微分方程dy/dx=[x(1+y^2)]/[(1+x^2)y]满足初始条件y|(x=0)=1的特解

1回答

2020-12-2805:56

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董发花

　　分离变量

　　dy/dx=[x(1+y^2)]/[(1+x^2)y]

　　把x,dx都挪到右边,y,dy挪到左边

　　ydy/(1+y^2)=xdx/(1+x^2)

　　两边积分

　　∫ydy/(1+y^2)=∫xdx/(1+x^2)

　　1/2∫d(1+y^2)/(1+y^2)=1/2∫d(1+x^2)/(1+x^2)

　　ln|1+y^2|=ln|1+x^2|+C'

　　e^ln(1+y^2)=e^[ln(1+x^2)+C']=e^C'[e^ln(1+x^2)](能去绝对值因为1+x^2>0,1+y^2>0)

　　1+y^2=C(1+x^2)

　　代入x=0,y=1

　　1+1=C(1+0)

　　C=2

　　1+y^2=2(1+x^2)

　　y^2=2x^2+1

　　因为y(0)=1>0

　　所以开方

　　y=根号(2x^2+1)(舍去-根号(2x^2+1)

2020-12-28 06:00:38

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