根据题意画出图形,过P作PN⊥BC,交BC于点N,由ABCD为正方形,得到AD=DC=PN,在直角三角形ADE中,利用锐角三角函数定义求出DE的长,进而利用勾股定理求出AE的长,根据M为AE中点求出AM的长,利用HL得到三角形ADE与三角形PQN全等,利用全等三角形对应边,对应角相等得到DE=NQ,∠DAE=∠NPQ=30°,再由PN与DC平行,得到∠PFA=∠DEA=60°,进而得到PM垂直于AE,在直角三角形APM中,根据AM的长,利用锐角三角函数定义求出AP的长,再利用对称性确定出AP′的长即可．

　　根据题意画出图形,过P作PN⊥BC,交BC于点N,

　　∵四边形ABCD为正方形,

　　∴AD=DC=PN,

　　在Rt△ADE中,∠DAE=30°,AD=3cm,

　　∴tan30°=,即DE=cm,

　　根据勾股定理得：AE==2cm,

　　∵M为AE的中点,

　　∴AM=AE=cm,

　　在Rt△ADE和Rt△PNQ中,

　　,

　　∴Rt△ADE≌Rt△PNQ（HL）,

　　∴DE=NQ,∠DAE=∠NPQ=30°,

　　∵PN∥DC,

　　∴∠PFA=∠DEA=60°,

　　∴∠PMF=90°,即PM⊥AF,

　　在Rt△AMP中,∠MAP=30°,cos30°=,

　　∴AP===2cm；

　　由对称性得到AP′=DP=AD-AP=3-2=1cm,

　　综上,AP等于1cm或2cm．

　　故答案为：1或2．