【如图,三角形ABC是斜边为2的等腰直角三角形,点MN分别为-查字典问答网

来自侯勇的问题

　　【如图,三角形ABC是斜边为2的等腰直角三角形,点MN分别为ABAC上的点.过MN的直线将该三角形分成周长相等的两个部分.问,AM加AN是否为定值?如何设计使BMNC面积最小?】

　　如图,三角形ABC是斜边为2的等腰直角三角形,点MN分别为ABAC上的点.过MN的直线将该三角形分成周长相等的两个部分.问,AM加AN是否为定值?如何设计使BMNC面积最小?

1回答

2020-12-2802:55

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柴营

　　等腰直角三角形ABC,斜边BC=2,

　　∴两腰AB=AC=BC/√2=√2

　　MN分别为ABAC上的点.过MN的直线将该三角形分成周长相等的两个部分

　　∴AM+AN+MN=MB+BC+NC+MN

　　∴AM+AN=MB+BC+NC

　　又：(AM+AN)+(MB+BC+NC)=AM+MB+BC+AN+NC=AB+BC+AC=√2+2+√2=2(√2+1)

　　∴AM+AN=MB+BC+NC=√2+1

　　∴AM加AN为定值

　　当△AMN面积最大时,BMNC面积最小

　　AM+AN=√2+1

　　令AM=x

　　AN=√2+1-x

　　S△AMN=1/2AM*AN=1/2x*（√2+1-x)=-1/2{x^2-(√2+1)x}

　　当x=(√2+1)/2时,S△AMN有最大值,BMNC面积最小

　　即当AM=AN=(√2+1)/2时,BMNC面积最小

2020-12-28 02:56:43

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