来自杜小刚的问题
【设f(x)=(x-a)φ(x),其中函数φ(x)在x=a处连续,证明f(x)在x=a处可导,并求其导数】
设f(x)=(x-a)φ(x),其中函数φ(x)在x=a处连续,证明f(x)在x=a处可导,并求其导数
f'(a⁻)=lim[x→a⁻][f(x)-f(a)]/(x-a)=lim[x→a⁻](x-a)φ(x)/(x-a)=lim[x→a⁻]φ(x)=φ(a)
f'(a⁺)=lim[x→a⁺][f(x)-f(a)]/(x-a)=lim[x→a⁺](x-a)φ(x)/(x-a)=lim[x→a⁺]φ(x)=φ(a)
f'(a⁻)=f'(a⁺)=φ(a),左右导数相等,所以f(x)在x=a处可导,且f'(a)=φ(a)
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