设f(x)在x=0的邻域内有三阶导数,且x->0时,lim(-查字典问答网

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　　设f(x)在x=0的邻域内有三阶导数,且x->0时,lim(1+x+f(x)/x)^(1/x)=e^3.求（1）：f(0),f'(0).f''(0)求（2）lim(1+f(x)/x)^(1/x).

　　设f(x)在x=0的邻域内有三阶导数,且x->0时,lim(1+x+f(x)/x)^(1/x)=e^3.求（1）：f(0),f'(0).f''(0)

　　求（2）lim(1+f(x)/x)^(1/x).

1回答

2020-12-2507:26

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葛建华

　　1、条件等价于ln(1+x+f(x)/x)/x的极限是3.显然f(0)=0.另外,由于分母x趋于0,因此分子ln函数必趋于0,于是得x+f(x)/x趋于0,f(x)/x趋于0,即[f(x)－f(0)]/(x－0)趋于0,于是f'(0)=0.

　　利用Taylor展式得f(x)/x=f''(0)x^2/2+小o(x^2),因此

　　ln(1+x+f(x)/x^2)等价于x+f''(0)x/2,故极限值为1+f''(0)/2=3,解得f''(0)=4.

　　2、limln(1+f(x)/x)/x=limln(1+f''(0)x/2+小o(x))/x=lim【f''(0)x/2+小o(x)】/x=f''(0)/2=2.

　　因此原极限为e^2

2020-12-25 07:28:12

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