已知奇函数f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），且f-查字典问答网

来自陈东明的问题

　　已知奇函数f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），且f（x）在（0，+∞）上是增函数，f（1）=0．（1）求证：函数f（x）在（-∞，0）上是增函数；（2）解关于x的不等式f（x）＜0．

　　已知奇函数f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），且f（x）在（0，+∞）上是增函数，f（1）=0．

　　（1）求证：函数f（x）在（-∞，0）上是增函数；

　　（2）解关于x的不等式f（x）＜0．

1回答

2020-12-1800:48

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沈文旭

　　（1）证明：设x1，x2∈（-∞，0），且x1＜x2，则有-x1＞-x2＞0，

　　∵f（x）是[0，+∞）上的增函数∴f（-x1）＞f（-x2）

　　又∵f（x）为R上的奇函数，∴-f（x1）＞-f（x2），即f（x1）＜f（x2）．

　　故f（x）是（-∞，0）上的单调增函数；

　　（2）x＞0时，f（x）＜f（1），∴x＜1，∴0＜x＜1；

　　x＜0时，f（x）＜f（-1），∴x＜-1，∴x＜-1，

　　∴不等式f（x）＜0的解集为{x|0＜x＜1或x＜-1}．

2020-12-18 00:51:49

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