【fx是定义在R上且fx不恒为零对任意x,y均有f（x+y）-查字典问答网

来自童伟华的问题

　　【fx是定义在R上且fx不恒为零对任意x,y均有f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）证明它是偶函数fx是定义在R上且fx不恒为零对任意x,y均有f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）证明它是偶函数】

　　fx是定义在R上且fx不恒为零对任意x,y均有f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）证明它是偶函数

1回答

2020-12-1501:58

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李相春

　　∵对任意的x,y,均有f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）,

　　令y=x=0

　　则有2f（0）=2f2（0）

　　∴f（0）=0或f（0）=1

　　若f（0）=0,则由f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）,可得当y=0时f（x）+f（x）=2f（x）f（0）=0

　　与已知f（x）定义在R上的函数,且不恒为零矛盾,故f（0）≠0

　　∴f（0）=1

　　令x=0

　　则有f（y）+f（-y）=2f（0）f（y）=2f（y）

　　∴f（y）=f（-y）

　　所以f（x）为偶函数

2020-12-15 01:59:38

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