【已知O是锐角△ABC的外心，BE、CF分别为AC、AB边上-查字典问答网

来自罗宗南的问题

　　【已知O是锐角△ABC的外心，BE、CF分别为AC、AB边上的高，自垂足E、F分别作AB、AC的垂线，垂足为G、H，设EG与FH相交于K．（1）证明：A、K、0三点共线；（2）若AK=KO，求∠A．】

　　已知O是锐角△ABC的外心，BE、CF分别为AC、AB边上的高，自垂足E、F分别作AB、AC的垂线，垂足为G、H，设EG与FH相交于K．

　　（1）证明：A、K、0三点共线；

　　（2）若AK=KO，求∠A．

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2020-12-0622:00

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黄龙杨

　　（1）如图1，连接AO并延长交O于点P，连接BP，设BE、CF交于点L，连接AL并延长交BC于点J，连接EF，

　　∵BE⊥AC，CF⊥AB，

　　∠BFC=∠BEC=90°，

　　∴B、F、E、C四点共圆，

　　∴∠AFE=∠ACB，

　　∵∠ACB=∠APB，

　　∴∠AFE=∠APB，

　　∵AP是直径，

　　∴∠ABP=90°，

　　∴∠APB+∠BAP=90°，

　　∴∠AFE+∠BAP=90°，

　　∴AO⊥EF，

　　∵FH⊥AE，EG⊥AF，EG与AF交于点K，

　　∴K为△AEF的垂心，

　　∴A、K、O三点共线；

　　（2）如图2，设BE、CF交于点L，则L为△ABC的垂心，连接AL，则AL⊥BC，连接BO并延长交O于点M，连接CM、AM，过点O作ON⊥BC于N，

　　∵BM是直径，

　　∴MA⊥AB，

　　∵CF⊥AB，

　　∴CF∥MA，

　　同理AL∥CM，

　　∴四边形ALCM是平行四边形，

　　∴AL=CM，

　　∵ON⊥BC，BO=OM，

　　∴ON=12CM

2020-12-06 22:03:49

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