求二重积分∫∫（x²-y²）dσ,其中D-查字典问答网

来自郭明妹的问题

　　求二重积分∫∫（x²-y²）dσ,其中D是闭区域：0≤y≤sinx,0≤x≤π.

1回答

2020-12-0619:02

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杜锦

　　∫∫（x²-y²）dσ

　　=∫[0,π]∫[0,sinx]（x²-y²）dydx

　　=∫[0,π]（x²y-y^3/3）[0,sinx]dx

　　=∫[0,π]（x^2sinx-sinx^3/3）dx

　　=∫[0,π]x^2sinxdx-∫[0,π]sinx^3/3dx

　　=-∫[0,π]x^2dcosx+∫[0,π](1-cos^2x)/3dcosx

　　=-x^2cosx[0,π]+2∫[0,π]xcosxdx+(cosx-cos^3x/3)/3[0,π]

　　=π^2+2∫[0,π]xdsinx-2/9-2/9

　　=π^2-4/9+2∫[0,π]xdsinx

　　=π^2-4/9+2xsinx[0,π]-2∫[0,π]sinxdx

　　=π^2-4/9+2cosx[0,π]

　　=π^2-4/9-4

　　=π^2-40/9

2020-12-06 19:04:16

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