【圆O过锐角三角形ABC的B,C交AB,AC于E,F另一等圆-查字典问答网

来自范大祥的问题

　　【圆O过锐角三角形ABC的B,C交AB,AC于E,F另一等圆过A,E,F则圆O过三角形ABC的内心外心重心还是垂心一道难倒了许多老师学生的题求救】

　　圆O过锐角三角形ABC的B,C交AB,AC于E,F另一等圆过A,E,F则圆O过三角形ABC的内心外心重心还是垂心

　　一道难倒了许多老师学生的题求救

3回答

2020-12-0507:27

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郭天石

　　这题应该没有这么难的.

　　图可以画出两种,一种是E、F分别在线段AB、AC上,一种是E、F一个在边上一个在延长线上.

　　先说E、F分别在线段AB、AC上的情况,图自己画

　　连接BF、EF

　　有ΔAEF和ΔBEF的外接圆半径相等

　　由正弦定理,有AF/sin∠AEF=BF/sin∠BEF

　　而∠AEF+∠BEF=180°,所以sin∠AEF=sin∠BEF

　　所以AF=BF

　　所以∠BFC=∠A+∠FBA=2∠A

　　上述四心里,只有外心T（本来该用字母O的…）恒有∠BTC=2∠A

　　故圆O过ΔABC的外心

　　另一种情况不妨设E在AB延长线上,F在线段AC上

　　则ΔAEF与ΔBEF外接圆半径相等

　　所以AF/sin∠AEF=BF/sin∠BEF,而∠AEF=∠BEF

　　所以AF=BF

　　后面的证明同前

2020-12-05 07:29:07

范大祥

　　为什么由∠BFC=2∠A就得出了是外心Key是外心不错可以请师傅讲得再详细点吗

2020-12-05 07:31:38

郭天石

　　设外心为T因为∠BTC=2∠A，∠BFC=2∠A，故∠BTC=∠BFC所以B、C、T、F四点共圆，即T点在B、C、F的外接圆圆O上

2020-12-05 07:34:55

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