【设锐角△ABC的外心为O,从A作BC的高,垂足为P,且∠B-查字典问答网

来自桂竹成的问题

　　【设锐角△ABC的外心为O,从A作BC的高,垂足为P,且∠BCA≥∠ABC+30°,证明：∠CAB+∠COP＜90°】

　　设锐角△ABC的外心为O,从A作BC的高,垂足为P,且∠BCA≥∠ABC+30°,证明：∠CAB+∠COP＜90°

1回答

2020-12-0502:37

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丁婷婷

　　这是第42届IMO的平面几何题.证明比较繁琐（不然就不叫imo了）.

　　令∠CAB=α,∠ABC=β,∠BCA=γ,∠COP=δ.

　　设K、Q分别为点A、P关于BC的垂直平分线的对称点,

　　R为△ABC的外接圆半径,则

　　OA=OB=OC=OK=R.

　　∵四边形KQPA为矩形,∴QP=KA,

　　在△AOK中,OA=OK=R,

　　∠AOK=∠AOB-∠KOB=∠AOB-∠AOC=2γ-2β≥60°.

　　∴KA≥R,QP≥R.

　　又依三角不等式有,

　　OP+R=OQ+OC>QC=QP+PC≥R+PC,

　　∴OP>PC.

　　∴∠PCO>∠COP=δ.

　　又α=½∠BOC=½(180°-2∠POC)=90°-∠POC,

　　∴α+δ

2020-12-05 02:40:44

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