【已知△ABC为锐角三角形，AB≠AC，以BC为直径的圆分别交边AB和AC于点M和N，记BC得中点为O，∠BAC的平分线和∠MON的平分线交于点R．证明：△BMR的外接圆和△CNR的外接圆有一个交点在BC上．】
已知△ABC为锐角三角形，AB≠AC，以BC为直径的圆分别交边AB和AC于点M和N，记BC得中点为O，∠BAC的平分线和∠MON的平分线交于点R．证明：△BMR的外接圆和△CNR的外接圆有一个交点在BC上．
证明：如图，先证明A、M、R、N四点共圆，
∵△ABC为锐角三角形，∴点M、N分别在线段AB、AC内，
在射线AR上取一点R1，使A、M、R1、N四点共圆，
∵AR1平分∠BAC，∴R1M=R1N，
∵OM=ON，R1M=R1N，∴R1在∠MON的平分线上，
∵AB≠AC，∴∠MON的平分线与∠BAC的平分线不重合、不平行，有惟一交点R，
∴R1=R，即A、M、R、N四点共圆．
其次，设AR的延长线交BC于点K，则K在边BC上，
∵B、C、N、M四点共圆，∴∠MBC=∠ANM，
∵A、M、R、N四点共圆，∴∠MBK=∠MRA，
∴B、M、R、K四点共圆，
同理，C、N、R、K四点共圆．
故△BMR的外接圆和△CNR的外接圆有一个交点在BC上．
