S为三角形的面积,P=1/2(a+b+c),求S²-查字典问答网

来自冯新岗的问题

　　S为三角形的面积,P=1/2(a+b+c),求S²=P(P-a)(P-b)(P-c)

1回答

2020-12-0220:17

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姜培刚

　　这个是海伦公式啊.

　　证明过程有点麻烦,可以参考百度的资料.

　　设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C,则余弦定理为

　　cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab

　　S=1/2*ab*sinC

　　=1/2*ab*√(1-cos^2C)

　　=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]

　　=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]

　　=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]

　　=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]

　　=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]

　　设p=(a+b+c)/2

　　则p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,

　　上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]

　　=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

　　所以,三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

2020-12-02 20:20:01

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