1.

　　f[f(x)]=f(x)

　　则就是：f(x)=x

　　现在的问题就是映射的问题.

　　f：A→B,A中的每一个元素在B中都有唯一的元素与之对应,显然B中的某些元素可能没有原像.所有原像的集合就是A,是函数f的定义域,所有像的集合就是值域,显然值域是B的一个非空子集.

　　题目中,没有说第二个{1,2,3}是值域,那么其中的某些元素没有原像.而第一个{1,2,3}是原像集合,每一个元素都有像与之对应,因此分类讨论的基准就是第二个{1,2,3}哪些元素有原像.

　　【1】{1,2,3}只有一个元素有原像,比如说1有原像,2.3没有原像.那么就是{1,2,3}→{1},那么满足f(x)=x的有f(1)=1；当然也可以只有2或者3只有原像,因此这是三对一（三个原像对应一个像）情况,这样的函数有3个.

　　【2】{1,2,3}1和2有原像,{1,2,3}→{1,2}这样就是三对二的映射,满足函数的有f(1)=1,f(2)=2；当然也可以是1,3或2,3有原像,因此此时有6个这样的函数.

　　【3】{1,2,3}全部有原像,即他就是值域,{1,2,3}→{1,2,3},只能是这样的映射{1}→{1},{2}→{2},{3}→{3}只有一个这样的函数.【注意：这里f(1)=1,f(2)=2,f(3)=3,三个函数表达式,是一个函数,不是三个函数】

　　计算函数个数的时候由映射关系来确定.

　　2.

　　任取x1>x2

　　由f(a+b)=f(a)+f(b)-1令a=x2,b=x1-x2

　　有f(x1)=f(x2)+f(x1-x2)-1

　　b=x1-x2>0f(x1-x2)>1

　　f(x1)=f(x2)+f(x1-x2)-1>f(x2)

　　则可知对任意X1>X2时都有f(X1)>f(X2)

　　∴f(x)是R上的增函数