（1）已知a，b，c为两两不相等的实数，求证：a2+b2+c-查字典问答网

来自麻士东的问题

　　（1）已知a，b，c为两两不相等的实数，求证：a2+b2+c2＞ab+bc+ca；（2）设a，b，c∈（0，+∞），且a+b+c＝1，求证(1a−1)(1b−1)(1c−1)≥8．

　　（1）已知a，b，c为两两不相等的实数，求证：a2+b2+c2＞ab+bc+ca；

　　（2）设a，b，c∈（0，+∞），且a+b+c＝1，求证(1a−1)(1b−1)(1c−1)≥8．

1回答

2020-11-2823:54

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刘松鹏

　　证明：（1）要证a2+b2+c2＞ab+bc+ca，只需证2（a2+b2+c2）＞2（ab+bc+ca）

　　即证（a+b）2+（b+c）2+（a+c）2＞0，

　　因为a，b，c是不全相等的实数，所以（a+b）2＞0，（b+c）2＞0，（a+c）2＞0，

　　所以（a+b）2+（b+c）2+（a+c）2＞0显然成立．

　　所以a2+b2+c2＞ab+bc+ca；

　　（2）∵a、b、c∈（0，+∞）且a+b+c=1，

　　∴(1a−1)(1b−1)(1c−1)＝b+ca•a+cb•a+bc

2020-11-28 23:58:32

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