已知a，b，c，d都是实数，求证：（a2+b2）（c2+d2-查字典问答网

来自丁卫的问题

　　已知a，b，c，d都是实数，求证：（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2．

1回答

2020-11-2901:57

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宋豫川

　　证法1：（分析法）要证（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）成立，

　　即证：a2c2+b2d2+2abcd≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d2成立，

　　即证：2abcd≤a2d2+b2c2成立，

　　即证：0≤a2d2+b2c2-2abcd=（ad+bc）2成立，

　　上式明显成立．

　　故（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）．

　　证法2：（综合法）因为a2d2+b2c2≥2abcd（重要不等式），

　　所以（ac+bd）2=a2c2+b2d2+2abcd≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=（a2+b2）（c2+d2）．

　　证法3：（作差法）因为（a2+b2）（c2+d2）-（ac+bd）2（2分）

　　=（a2c2+a2d2+b2c2+b2d2）-（a2c2+b2d2+2abcd）

　　=b2c2+a2d2-2abcd=（b2c2-a2d2）2≥0，

　　所以（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）．

2020-11-29 02:00:17

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