【试用3种不同的方法证明ac+bd≤√(a2+b2)(c2+-查字典问答网

来自截曙光的问题

　　【试用3种不同的方法证明ac+bd≤√(a2+b2)(c2+d2).已知a，b,c，d∈R，(√表示后面的开根号题中的2表示平方)】

　　试用3种不同的方法证明ac+bd≤√(a2+b2)(c2+d2).

　　已知a，b,c，d∈R，(√表示后面的开根号题中的2表示平方)

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2020-11-2905:15

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郭炳炎

　　[证法1](比较法)

　　(ac＋bd)2－(a2＋b2)(c2＋d2)

　　＝a2c2＋2abcd＋b2d2－(a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2)

　　＝－(a2d2－2abcd＋b2c2)

　　＝－(ad－bc)2≤0(当ad＝bc时取等号，以下同)．

　　∴(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．

　　[证法2](构造二次函数法)

　　令函数f(x)＝(a2＋b2)x2－2(ac＋bd)x＋(c2＋d2)，

　　则f(x)＝a2x2－2acx＋c2＋b2x2－2bdx＋d2

　　＝(ax－c)2＋(bx－d)2≥0．

　　又知二次系数大于0，故

　　△＝4(ac＋bd)2－4(a2＋b2)(c2＋d2)≤0．

　　∴(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．

　　[证法3](三角代换法)

　　设a＝mcosα，c＝ncosβ，则

　　b＝msinα，d＝nsinβ，从而

　　(ac＋bd)2＝m2n2cos2(α－β)≤m2n2＝(a2＋b2)(c2＋d2)．

　　∴(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．

2020-11-29 05:16:41

蔡光东

　　佩服

2020-11-29 05:20:32

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