【设函数f(x)=3x^2+a/x^3(x∈(o,+∞))求-查字典问答网

来自邓广宏的问题

　　【设函数f(x)=3x^2+a/x^3(x∈(o,+∞))求正数a的取值范围,使对于任意x∈(0,+∞)都有f(x)>=20.】

　　设函数f(x)=3x^2+a/x^3(x∈(o,+∞))求正数a的取值范围,使对于任意x∈(0,+∞)都有f(x)>=20.

1回答

2020-11-1512:23

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冯国聪

　　要使对于任意x∈(0,+∞),都有f(x)≥20,只要f(x)的最小值≥20就可以了.下面来求f(x)的最小值.

　　f’(x)=6x-3a/x^4x∈(0,+∞)

　　令f’(x)≥0以求f(x)的增区间,得6x-3a/x^4≥0,解之得x≥(a/2)^(1/5)

　　令f’(x)≤0以求f(x)的减区间,得6x-3a/x^4≤0,解之得00时,f(x)在00且a=2m^5,代入上面的不等式得

　　3m²+2m^5/m³≥20,化简

　　3m²+2m²≥20,

　　5m²≥20,结合m≥0解之得m≥2,即

　　(a/2)^(1/5)≥2,结合a≥0解之得

　　a≥64

2020-11-15 12:24:10

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