已知abc为互补相等的实数,求证：a^4+b^4+c^4>a-查字典问答网

来自杜正春的问题

　　已知abc为互补相等的实数,求证：a^4+b^4+c^4>abc(a+b+c)

1回答

2020-11-1117:00

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金纪元

　　设x=a^2,y=b^2,z=c^2

　　a^4+b^4+c^4

　　=x^2+y^2+z^2

　　=1/2((x^2+y^2)+(x^2+z^2)+(y^2+z^2))

　　>=xy+xz+yz（x^2,y^2,z^2均大于等于零）

　　=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2

　　=1/2((a^2b^2+b^2c^2)+(b^2c^2+c^2a^2)+(a^2b^2+c^2a^2))

　　>=b^2ac+c^2ab+a^2bc（a^2b^2,b^2c^2,a^2c^2均大于等于0）

　　=abc(a+b+c)

　　∵取等号的条件为a=b=c,又abc互不相等

　　所以

　　a^4+b^4+c^4>abc(a+b+c)

2020-11-11 17:01:33

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