①∑（n从1到正无穷）（-1)^(n-1)*(2x)^(2n-1)/(2n-1)

　　=∑（n从1到正无穷）（-1)^(n-1)∫(2x)^(2n-2)dx（积分区间为0到x,下同）

　　=∑（n从1到正无穷）（-1)^(n-1)∫(4x²)^(n-1)dx

　　=∑（n从1到正无穷）∫（-4x²)^(n-1)dx

　　=∫[∑（n从1到正无穷）（-4x²)^(n-1)]dx

　　=∫[1/(1+4x²)]dx

　　=arctan2x

　　②∑（n从1到正无穷）n*（n＋2）X＾2n

　　=1/2∑（n从1到正无穷）2n(n+2)x^2n

　　=(1/2)x∑（n从1到正无穷）(n+2)2nx^(2n-1)

　　=(1/2)x∑（n从1到正无穷）(n+2)[x^(2n)]′

　　=(1/2)x[∑（n从1到正无穷）(n+2)x^(2n)]′

　　∑（n从1到正无穷）(n+2)x^(2n)

　　=1/(2x³)∑（n从1到正无穷）(2n+4)x^(2n+3)

　　=1/(2x³)∑（n从1到正无穷）[x^(2n+4)]′

　　=1/(2x³)[∑（n从1到正无穷）x^(2n+4)]′

　　=1/(2x³)[x^6/(1-x²)]′

　　=x²(3-2x²)/(1-x²)²

　　原式=(1/2)x[∑（n从1到正无穷）(n+2)x^(2n)]′

　　=(1/2)x[x²(3-2x²)/(1-x²)²]′

　　=x²(3-x²)/(1-x)³

　　高数真让人头疼，小弟还是有些许不明白：第一题中∫[∑（n从1到正无穷）（-4x²)^(n-1)]dx=∫[1/(1+4x²)]dx这步是如何得到的呀？

　　你知道∑（n从0到无穷）x^n=1/(1-x)吗？这里也是一样的，∑（n从1到正无穷）（-4x²)^(n-1)的收敛区间为(-1/2,1/2],在收敛区域内Sn=[1-(-4x²)^n]/(1+4x²)lim(n→∞)Sn=1/(1+4x²)即该级数∑（n从1到正无穷）（-4x²)^(n-1)=1/(1+4x²)