设二次函数f(x)=ax^2+bx+c在[-2,2]上的最大-查字典问答网

来自谭永宏的问题

　　设二次函数f(x)=ax^2+bx+c在[-2,2]上的最大值、最小值分别是M,m,集合A={x|f(x)=x}若A={2},且a≥1,记g(a)=M+m,求g(a)的最小值.

　　设二次函数f(x)=ax^2+bx+c在[-2,2]上的最大值、最小值分别是M,m,集合A={x|f(x)=x}

　　若A={2},且a≥1,记g(a)=M+m,求g(a)的最小值.

1回答

2020-11-0705:24

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刘公望

　　A={2},即方程f(x)=x只有一个解,即

　　ax^2+(b-1)x+c=0只有一个解x=2,即

　　-(b-1)/a=x1+x2=4

　　c/a=x1x2=4

　　所以b=1-4a,c=4a

　　f（x）=ax^2+(1-4a)x+4a

　　对称轴为:（4a-1)/(2a)=2-1/(2a)≥2-1/2=3/2(a≥1)

　　所以3/2≤（4a-1)/(2a)≤2,即

　　x=(4a-1)/(2a)时f（x）有最小值m=[-(1-4a)^2+16a^2]/(4a)

　　x=-2时f（x）有最大值M=4a-2（1-4a）+4a=16a-2

　　g(a)=M+m=[-(1-4a)^2+16a^2]/(4a)+16a-2(a≥1)

　　=16a-1/(4a)(a≥1)

　　所以当a=1时,g（a）有最小值=63/4

2020-11-07 05:25:49

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