【高考】用分析法证明:若a>0,则根号(a^2+1/a^2)-查字典问答网

来自陈明欢的问题

　　【高考】用分析法证明:若a>0,则根号(a^2+1/a^2)-根号2≥a+(1/a)-2

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2019-07-2201:35

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罗刚

　　题目：【高考】用分析法证明:若a>0,则a^2+1/a^2-√2>a+1/a-2.

　　证明：要证a^2+1/a^2-√2>a+1/a-2.

　　只要证a^2+1/a^2+2>a+1/a+√2.也即〖（a+1/a）〗^2>a+1/a+√2

　　令a+1/a=t,则不等式转化为t^2-t-√2>0,其中a+1/a=t≥2√a∙1/a=2.

　　令f(t)=t^2-t-√2,(t≥2)

　　配方得：f(t)=〖（t-1/2）〗^2-1/4-√2,所以二次函数的对称轴为x=1/2,所以f(t)在区间（1/2,+∞）为增函数.

　　因此〖f(t)〗_min=f(2)=2-√2>0.

　　所以：f(t)>0即a^2+1/a^2-√2>a+1/a-2.（得证）

2019-07-22 01:40:06

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