【已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x+y）+2=f（-查字典问答网

来自宫纯青的问题

　　【已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x+y）+2=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＞2，f（3）=5，求不等式f（a2-2a-2）＜3的解．】

　　已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x+y）+2=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＞2，f（3）=5，求不等式f（a2-2a-2）＜3的解．

1回答

2020-10-2504:07

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陆秀令

　　解抽象函数的不等式，需知函数的单调性；

　　用定义：任取x1＜x2，x2-x1＞0，则f（x2-x1）＞2

　　∴f（x2）+f（-x1）-2＞2

　　∴f（x2）+f（-x1）＞4；

　　对f（x+y）+2=f（x）+f（y）取x=y=0得：

　　f（0）=2，再取y=-x得f（x）+f（-x）=4即f（-x）=4-f（x），

　　∴有f（x2）+4-f（x1）＞4

　　∴f（x2）＞f（x1）

　　∴f（x）在R上递增，

　　又f（3）=f（2）+f（1）-2=f（1）+f（1）-2+f（1）-2=3f（1）-4=5

　　∴f（1）=3；

　　于是：不等式f（a2-2a-2）＜3等价于f（a2-2a-2）＜f（1）

　　∴a2-2a-2＜1

　　∴-1＜a＜3．

　　所以不等式的解集为：a|-1＜a＜3．

2020-10-25 04:12:22

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