f(x)=a^x-x=0(a>1)有唯一解,求a的取值范围或-查字典问答网

来自杜兴的问题

　　f(x)=a^x-x=0(a>1)有唯一解,求a的取值范围或思路）

1回答

2020-10-2505:33

我要回答

提示：回答问题需要登录哦！

李滔

　　a=e次根号下e,即a=e^(1/e)

　　思路如下：因为a＞1,所以在x＜0之前,始终有a^x>x,在x→正无穷时,也有a^x>x

　　而且a^x在整个定义域R上为增函数,所以y1=a^x与y2=x的图像的交点个数只有三种情况：

　　①交点0个,比如a比较大,y1始终在y2的上方

　　②交点1个,两曲线相切

　　③交点2个,a比较小,y1的一部分在y2的下面

　　本题需要求出情况②下a的范围

　　既然y1在某点的切线为y2,设切点为（x,x）,则切线斜率为1

　　y1导（x）=a^xlna=1,解得x=log以a为底（1/lna）的对数

　　又因为a^x=x得1/lna=log以a为底（1/lna）的对数,对左边换底得log以a为底e的对数

　　所以得e=1/lna,解得a=e的1/e次方

2020-10-25 05:36:43

大家都在问