如图，在三棱锥SABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC．DE-查字典问答网

来自钱静波的问题

　　如图，在三棱锥SABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC．DE垂直平分SC，且分别交AC、SC于D、E．又SA=AB，SB=BC．求以BD为棱，以BDE与BDC为面的二面角的度数．____

　　如图，在三棱锥SABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC．DE垂直平分SC，且分别交AC、SC于D、E．又SA=AB，SB=BC．求以BD为棱，以BDE与BDC为面的二面角的度数．

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1回答

2019-06-2615:48

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陈书洗

　　【分析】欲证BD⊥DE，BD⊥DC，先证BD⊥面SAC，从而得到∠EDC是所求的二面角的平面角，利用RtΔSAC与RtΔEDC相似求出∠EDC即可．

　　由于SB=BC，且E是SC的中点，

　　n∴BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线，

　　n∴SC⊥BE．

　　n又已知SC⊥DE，BE∩DE=E，

　　n∴SC⊥面BDE，

　　n∴SC⊥BD．

　　n又∵SA⊥底面ABC，BD在底面ABC上，

　　n∴SA⊥BD．

　　n而SC∩SA=S，∴BD⊥面SAC．

　　n∵DE=面SAC∩面BDE，DC=面SAC∩面BDC，

　　n∴BD⊥DE，BD⊥DC．

　　n∴∠EDC是所求的二面角的平面角．

　　n∵SA⊥底面ABC，∴SA⊥AB，SA⊥AC．

　　n设SA=a，则AB=a，BC=SB=a

　　n∵AB⊥BC，

　　n∴AC=.

　　n在RtΔSAC中，tan∠ACS=，

　　n∴∠ACS=30°．

　　n又已知DE⊥SC，

　　n∴∠EDC=60°，即所求的二面角等于60°．

　　【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．

2019-06-26 15:51:08

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