奇函数f(x)满足f(x+3)=f(x)．当x∈[0，1]时-查字典问答网

来自高鼎三的问题

　　奇函数f(x)满足f(x+3)=f(x)．当x∈[0，1]时，，则的值____.

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2019-06-2614:44

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申立群

　　【分析】本题是考察函数的综合性质，即考察函数的奇偶性，又考察函数的周期性，还要求函数值，由-3>>-4，而对应区间上函数的解析式未知，故我们可以将自变量的值利用函数的周期性，将自量的值往已知的区间上转化．

　　∵f(x)奇函数，

　　n∴f(-x)=-f(x)

　　n又∵当x∈[0，1]时，f(x)=3x-1，

　　n当x∈[-1，0]时，-x∈[0，1]

　　n此时-f(x)=f(-x)=3-x-1

　　n∴f(x)=1-3-x

　　n又∵-3=>>=-4

　　n∴-1<+3<0

　　n又由f(x+3)=f(x)

　　n得==1-=1-=

　　【点评】本题解析的关键点是根据函数的奇偶性，求函数在对称区间上的解析式，若已知函数的奇偶性，及函数在区间[a，b]上的解析式，求对称区间[-b，-a]上的解析式，一般步骤为：取区间上任意一个数，即x∈[-b，-a]，则-x∈[a，b]，由区间[a，b]上的解析式，写出f(-x)的表达式，根据奇函数f(-x)=-f(x)(偶函数f(-x)=f(x))给出区间[-b，-a]上函数的解析式．