【分析】(1)以O为坐标原点,AB所在直线为x轴,OP所在直线为z轴,建立空间直角坐标系o-xyz,求出向量,的坐标,代入数量积公式,验证其数量积与0的关系,即可得到结论.
(2)由PO=BC,得h=a,求出向量,的坐标,代入向量夹角公式,即可求出直线PD与AB所成的角;
(3)求出平面APB与平面PCD的法向量,根据平面APB与平面PCD所成的角为60°,构造关于h的方程,解方程即可得到的值.
因为AB中点O为点P在平面ABCD内的射影,所以PO⊥底面ABCD.以O为坐标原点,AB所在直线为x轴,OP所在直线为z轴,建立空间直角坐标系o-xyz(如图).
(1)设BC=a,OP=h则依题意得:B(a,0,0),A(-a,0,0),
P(0,0,h),C(a,a,0),D(-a,2a,0).
∴=(2a,a,0),=(-a,2a,-h),
于是•=-2a2+2a2=0,
∴PD⊥AC;
(2)由PO=BC,得h=a,于是P(0,0,a),
∵=(2a,0,0),=(-a,2a,-a),
∴•=-2a2,
∴cos,≥=,
∴直线PD与AB所成的角的余弦值为;
(3)设平面PAB的法向量为m,可得m=(0,1,0),
设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),由=(a,a,-h),=(-a,2a,-h),
∴,解得n=(1,2,),
∴m•n=2,
cos<m,n≥,
∵二面角为60°,
∴=4,
解得=,即=.(12分)
【点评】本题考查的知识点是直线与平面所成的角,异面直线及其所成的角,其中建立空间坐标系,求出相应直线的方向向量及相关平面的法向量,将线面夹角问题转化为向量夹角问题是解答本题的关键.