【如图,在四棱锥P-ABCD中,顶点P在底面ABCD内的射影-查字典问答网
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来自秦继伟的问题

  【如图,在四棱锥P-ABCD中,顶点P在底面ABCD内的射影恰好落在AB的中点O上,又∠BAD=90°,BC∥AD,且BC:AB:AD=1:2:2.(1)求证:PD⊥AC;(2)若PO=BC,求直线PD与AB所成的角;(3)若平面APB与平面PCD所成】

  如图,在四棱锥P-ABCD中,顶点P在底面ABCD内的射影恰好落在AB的中点O上,又∠BAD=90°,BC∥AD,且BC:AB:AD=1:2:2.

  (1)求证:PD⊥AC;

  (2)若PO=BC,求直线PD与AB所成的角;

  (3)若平面APB与平面PCD所成的角为60°,求的值.____

1回答
2019-06-2609:35
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邓明聪

  【分析】(1)以O为坐标原点,AB所在直线为x轴,OP所在直线为z轴,建立空间直角坐标系o-xyz,求出向量,的坐标,代入数量积公式,验证其数量积与0的关系,即可得到结论.

  (2)由PO=BC,得h=a,求出向量,的坐标,代入向量夹角公式,即可求出直线PD与AB所成的角;

  (3)求出平面APB与平面PCD的法向量,根据平面APB与平面PCD所成的角为60°,构造关于h的方程,解方程即可得到的值.

  因为AB中点O为点P在平面ABCD内的射影,所以PO⊥底面ABCD.以O为坐标原点,AB所在直线为x轴,OP所在直线为z轴,建立空间直角坐标系o-xyz(如图).

  (1)设BC=a,OP=h则依题意得:B(a,0,0),A(-a,0,0),

  P(0,0,h),C(a,a,0),D(-a,2a,0).

  ∴=(2a,a,0),=(-a,2a,-h),

  于是•=-2a2+2a2=0,

  ∴PD⊥AC;

  (2)由PO=BC,得h=a,于是P(0,0,a),

  ∵=(2a,0,0),=(-a,2a,-a),

  ∴•=-2a2,

  ∴cos,≥=,

  ∴直线PD与AB所成的角的余弦值为;

  (3)设平面PAB的法向量为m,可得m=(0,1,0),

  设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),由=(a,a,-h),=(-a,2a,-h),

  ∴,解得n=(1,2,),

  ∴m•n=2,

  cos<m,n≥,

  ∵二面角为60°,

  ∴=4,

  解得=,即=.(12分)

  【点评】本题考查的知识点是直线与平面所成的角,异面直线及其所成的角,其中建立空间坐标系,求出相应直线的方向向量及相关平面的法向量,将线面夹角问题转化为向量夹角问题是解答本题的关键.

2019-06-26 09:40:20
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