高中数学柯西不等式证明题x.y.z是正数x+y+z=1证明：-查字典问答网

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　　高中数学柯西不等式证明题x.y.z是正数x+y+z=1证明：x/(y+2z)+y/(z+2x)+z/(x+2y)≥1

　　高中数学柯西不等式证明题

　　x.y.z是正数x+y+z=1

　　证明：x/(y+2z)+y/(z+2x)+z/(x+2y)≥1

1回答

2019-06-2513:41

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聂跃平

　　这个证明方法很多

　　先证明两个小结论吧.

　　（x+y+z）²=x²+y²+z²+2xy+2yz+2zx=1

　　（x²+y²+z²)(y²+z²+x²）≥（xy+yz+zx）²【柯西不等式】

　　得x²+y²+z²≥xy+yz+zx

　　于是1=x²+y²+z²+2xy+2yz+2zx≥xy+yz+zx+2xy+2yz+2zx=3(xy+yz+zx)

　　得xy+yz+zx≤1/3【当x=y=z=1/3时等号成立】

　　[x/(y+2z)+y/(z+2x)+z/(x+2y)][x(y+2z)+y(z+2x)+z(x+2y)]≥（x+y+z）²=1【柯西不等式】

　　于是x/(y+2z)+y/(z+2x)+z/(x+2y)≥1/[x(y+2z)+y(z+2x)+z(x+2y)]=1/3(xy+yz+zx)

　　xy+yz+zx≤1/3,得1/3(xy+yz+zx)≥1

　　于是x/(y+2z)+y/(z+2x)+z/(x+2y)≥1

2019-06-25 13:44:04

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