如图,已知,⊙O的弦AB垂直于直径CD,垂足为F,点E在AB上,且EA=EC.(1)求证:.(2)延长EC到点P,连接PB,若PB=PE,试判断PB与⊙O的位置关系,并说明理由.____
如图,已知,⊙O的弦AB垂直于直径CD,垂足为F,点E在AB上,且EA=EC.
(1)求证:.
(2)延长EC到点P,连接PB,若PB=PE,试判断PB与⊙O的位置关系,并说明理由.
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如图,已知,⊙O的弦AB垂直于直径CD,垂足为F,点E在AB上,且EA=EC.(1)求证:.(2)延长EC到点P,连接PB,若PB=PE,试判断PB与⊙O的位置关系,并说明理由.____
如图,已知,⊙O的弦AB垂直于直径CD,垂足为F,点E在AB上,且EA=EC.
(1)求证:.
(2)延长EC到点P,连接PB,若PB=PE,试判断PB与⊙O的位置关系,并说明理由.
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【分析】(1)要证的是等积式,可以先转化成比例式,即,可发现只要先证得△AEC∽△ACB.可证BC=AC,可以利用等腰三角形的性质来得到角相等,从而证明三角形相似.(2)PB过圆上一点,很容易想到证切线,那么就需要连接BO,只要证PB⊥BO,即∠OBP=90°.图中可看出∠OBC=∠OCB,而∠OCB+∠CBF=90°,即∠OCB+∠A=90°.所以只要证∠A=∠PBC即可.
1、(1)连接BC.
因为AB⊥CD,CD为⊙O的直径,
所以BC=AC.
所以∠1=∠2.
又因为AE=CE,
所以∠1=∠3.
所以∠3=∠2.
因为∠1是△AEC和△ABC的公共角,
所以△AEC∽△ACB.
所以,
即.
(2)PB与⊙O相切.
证明:连接OB.
因为PB=PE,
所以∠PBE=∠PEB.
因为∠1=∠2=∠3.
所以∠PEB=∠1+∠3=2∠1.
又因为∠PBE=∠2+∠PBC=∠1+∠PBC.
所以∠PBC=∠1.
在△OBC中,∠OCB=90°-∠2=90°-∠1.
所以∠OBC=90°-∠1.
所以∠OBP=∠OBC+∠PBC=∠1+(90°-∠1)=90°.
所以PB⊥OB,即PB为⊙O的切线.
【点评】在证明题中,要证等积式,一般都是先将其转化成比例式,再找出边所在的三角形,通过证明三角形相似得到.